さっき送ったｗ　（先のの２問目）

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さっき送ったｗ　（先のの２問目）

投稿者：なし投稿日：2009年11月 6日(金)22時03分20秒

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で、＞すべての自然数ｎについて、＞n^n e^-n<n!<(n+1)^n+1 e^-n ＞であることを示せ。これ解けんかったｗ　不覚ｗ方針は、（１）の不等式を総和していく。また、普通の大小⇔logの大小となるｗ自然対数の底が＞１であるからｗまた積や累乗のごちゃごちゃした式はログ（対数ｗ）を取ってやると例えば、logn^n e^-n=logn^n + loge^-n =nlogn + -nloge =nlogn -n とできるｗ（公式より　logab=loga+logb loga^b=b・loga）しばらく見つめてみてｗ、不等式だから、とりあえず、（左辺）－（右辺）＜０等に持っていけばいいかと考え、とりあえず答えを見ると、ヒントに上の方針があったｗ分からんかったｗ（１）の使い所がどこか？（先のは設問の（１）なのｗ　＊＊も前の問題をヒントにってチャートでやったろ？ｗそれぐらいは経験あるやろ？ｗ）など考えたりしたがｗ（１）は・ｋを２以上の自然数とするとき ∫(k-1~k) logxdx<logk<∫(k~k+1) logxdx であることを示せ。だったよなｗこれを辺々、ｋ＝２～ｎまで足すと、、、それと、 ∫logxdx=∫x'logxdx =xlogx - ∫x・1/xdx =xlogx - x + C （Cは積分定数）＃部分積分の公式使って計算ｗ上の不等式を、辺々足すと、、、 ⇔∫(1~n) logxdx < logn! <∫(2~n+1) logxdx （理由は：一番左は積分を足したのだから自明ｗ真ん中は、log2 + log3 + …logn=log1・2・3・4…n =logn! （先の公式より）尚、log1=0　よりlog1も加えたものとしていいｗ右のも一番左と同じ理由） ⇔nlogn -n-1 < logn! <(n+1)log(n+1)-(n+1) - (2log2 - 2) ⇔nlogn -n -1 < logn! < (n+1)log(n+1) -n +1 -log4　…① ここで、証明すべき不等式の両辺の対数を取ると、、、 logn^n e^-n =nlogn + (-nloge) =nlogn-n log(n+1)^(n+1) e^-n =(n+1)log(n+1) +(-nloge) =(n+1)log(n+1) -n 要は↑を目指して、先の式を変形してやればいいｗ（証明問題で「結論から迎えに行け」　＊＊も高１の時腐るほどやったよな？チャート式でｗ問題の趣旨・使う式は違おうがｗ　これぐらい分かるよな？ｗまさか、やったことない、分からんなんて…　抜かすなよｗ） ① ⇒ nlogn -n < logn! < (n+1)log(n+1) -n （ちなみに、これは①と「同値」でないことに注意ｗ上が成り立つからと言って、必ず①が成立する訳でない！また、右辺はlog4<1より） ⇒　logn^n e^-n < logn! < log(n+1)^(n+1) e^-n ∴　n^n e^-n < n! < (n+1)^(n+1) e^-n // ふう疲れたｗ　一問やっつけた！

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